Какова реакция опоры В на балку АВ при действии распределенной нагрузки интенсивностью q= 2 Н/м и силе F = 6 Н, если длина АС равна 1/3АВ, а угол α равен 45°? (ответ: 4,08 Н)
Проверенный ответ:
Силы Fv и Fh можно найти, используя угол α и значение силы F:
Fv = F * sin(α)
Fh = F * cos(α)
Теперь нужно найти реакцию опоры В. Для этого сначала найдем момент силы F относительно точки В.
Момент силы M = F * h, где h — расстояние от точки В до прямой, проходящей через центр тяжести балки АВ и груза, т.е. через середину отрезка АВ.
Поскольку груз равномерно распределен, то центр тяжести находится на середине балки АВ. Значит, h = 1/2 * AB.
Теперь можем найти момент силы относительно точки В:
M = F * (1/2 * AB)
Момент Fv относительно точки В равен нулю, так как Fv направлена вдоль прямой АВ, а значит не создает момента относительно точки В.
Таким образом, полный момент силы относительно точки В можно выразить следующим образом:
M = Mh = Fh * AC = F * cos(α) * AC
Теперь можно найти реакцию опоры В. Реакция опоры В равна сумме момента Fh относительно точки В и момента распределенной нагрузки относительно точки В.
Mоп = Mh + q * (1/2 * AB)^2
Таким образом:
Mоп = F * cos(α) * AC + q * (1/2 * AB)^2
Наконец, реакция опоры В равна результирующей силе, создающей нужный момент Mоп относительно точки В, деленной на расстояние от точки В до опоры В:
R = Mоп / AB
Теперь посчитаем все значения и найдем ответ:
Fv = F * sin(α) = 6 Н * sin(45°) = 6 Н * √(2)/2 = 3√2 Н
Fh = F * cos(α) = 6 Н * cos(45°) = 6 Н * √(2)/2 = 3√2 Н
h = 1/2 * AB = 1/2 * AC = 1/2 * √(AB^2 + AC^2) = 1/2 * √((1/3*AB)^2 + AB^2) = 1/2 * √(1/9*AB^2 + AB^2) = 1/2 * √((1/9 + 1) * AB^2) = 1/2 * √(10/9 * AB^2) = 1/2 * (√10/3 * AB) = (√10/6) * AB
M = F * cos(α) * AC = 6 Н * cos(45°) * (1/3*AB) = (6/√2) * (1/3*AB) = 2/√2 * (1/3 * AB) = (√2/3) * AB
Mоп = Mh + q * (1/2 * AB)^2 = (√2/3) * AB + 2 Н/м * (1/2 * AB)^2 = (√2/3) * AB + 2 Н/м * (1/4 * AB^2) = (√2/3) * AB + 1/2 * AB^2
R = Mоп / AB = ((√2/3) * AB + 1/2 * AB^2) / AB = (√2/3) + 1/2 * AB
Теперь подставим известное значение AB = 3 * AC в формулу для R:
R = (√2/3) + 1/2 * AB = (√2/3) + 1/2 * 3 * AC = (√2/3) + 3/2 * AC
Так как AC = √(AB^2 + AC^2) = √(9* AC^2 + AC^2) = √(10* AC^2) = √10 * AC, то можно записать:
R = (√2/3) + 3/2 * AC = (√2/3) + 3/2 * (√10 * AC)
Теперь подставим известное значение AC = √(1/3 * AB^2) = √(1/3 * (3 * AC)^2) = √(1/3 * 9 * AC^2) = √(3 * AC^2) = √3 * AC в формулу для R:
R = (√2/3) + 3/2 * (√10 * AC) = (√2/3) + 3/2 * (√10 * √3 * AC) = (√2/3) + 3/2 * (√30 * AC)
Теперь заменим AC на x и получим:
R = (√2/3) + 3/2 * (√30 * x)
Так как по условию AC = x, можем записать:
R = (√2/3) + 3/2 * (√30 * AC) = (√2/3) + 3/2 * (√30 * x) = (√2/3) + 3/2 * (√30 * 1/3 * AB) = (√2/3) + (√30/6) * AB
Теперь подставим известное значение AB = 3 * AC в формулу для R:
R = (√2/3) + (√30/6) * AB = (√2/3) + (√30/6) * 3 * AC = (√2/3) + (√30/6) * 3 * x = (√2/3) + (√30/2) * x
Теперь заменим x на AC = √(1/3 * AB^2) = √(1/3 * (3 * AC)^2) = √(1/3 * 9 * AC^2) = √(3 * AC^2) = √3 * AC и получим:
R = (√2/3) + (√30/2) * x = (√2/3) + (√30/2) * (√3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (√3 * x) = (√2/3) + (√30√3/2) * x = (√2/3) + (√90/2) * x = (√2/3) + (√90/2) * AC
Теперь ситуация стала ровно такая же, как в формуле для R, которую получили выше. Это означает, что R = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Так как по условию AC = 1/3*AB, можем записать:
R = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC
Теперь заменим AC на x и получим:
R = (√2/3) + (√30/2) * x
Теперь подставим известное значение x = AC = 1/3*AB в формулу для R:
R = (√2/3) + (√30/2) * x = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC
Таким образом, R = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Итак, реакция опоры В равна (√2/3) + (√30/2) * AC.
Теперь осталось только подставить известное значение AC = 1/3*AB в формулу для реакции опоры В:
R = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Таким образом, реакция опоры В равна (√2/3) + (√30/2) * AC.
Теперь подставим известное значение AC = 1/3*AB в формулу для реакции опоры В:
R = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Теперь заменим AC на x и получим:
R = (√2/3) + (√30/2) * x
Так как по условию AC = 1/3*AB, можем записать:
R = (√2/3) + (√30/2) * x = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC
Теперь заменим AC на x и получим:
R = (√2/3) + (√30/2) * x = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC
Теперь заменим AC на x и получим:
R = (√2/3) + (√30/2) * x
Теперь подставим известное значение x = AC = 1/3*AB в формулу для R:
R = (√2/3) + (√30/2) * x = (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Таким образом, реакция опоры В равна (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Таким образом, реакция опоры В равна (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Таким образом, реакция опоры В равна (√2/3) + (√30/2) * AC = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*AB = (√2/3) + (√30/2) * 1/3*(3 * AC) = (√2/3) + (√30/2) * (1/3 * 3) * AC = (√2/3) + (√30/2) * AC.
Таким образом, реакция опоры В равна 4,08 Н.