Требуется доказать, что если числа x, y и z таковы, что xz кратно (z-y), то xy также кратно (z-y

Для начала, давайте введем несколько обозначений для удобства.

Пусть xz кратно (z-y), это значит, что существует целое число k, такое что xz = k(z-y). (1)

Также, мы хотим доказать, что xy кратно (z-y), это значит, что существует целое число m, такое что xy = m(z-y). (2)

Нам нужно показать, что (1) влечет (2). Для этого докажем, что любое целое число, которое делит xz и (z-y), также делит xy и (z-y).

Пусть d — целое число, которое делит и xz, и (z-y). Это означает, что существуют целые числа a и b, такие что xz = da и (z-y) = db. Или, другими словами, x = da/z и y = z — db.

Теперь необходимо доказать, что d делит и xy, и (z-y). Заметим, что xy = (da/z)(z-db) = dab — db^2. Поскольку d и b являются целыми числами, то также являются и их произведения. Таким образом, dab — db^2 также является целым числом, и это означает, что d делит и xy.

Также заметим, что (z-y) = db. Вновь, поскольку d и b являются целыми числами, то также db является целым числом, и это означает, что d делит и (z-y).

Таким образом, мы доказали, что любое целое число, которое делит и xz, и (z-y), также делит и xy и (z-y). Это означает, что если xz кратно (z-y), то xy также кратно (z-y).